לצפיה:
פתיחה: סיפור מהשוק
בשוק ארבעת המינים בירושלים אפשר ללמוד כלכלה בלי ספרים.
עומד שם יהודי, עשרים דקות, עם זכוכית מגדלת ביד, ובודק אתרוג. מסובב, מקרב
לאור, מחפש נקודה שחורה בחוטם. משלם שלוש מאות שקל. לידו אדם אחר מודד לולב: האם
השדרה ישרה, האם העלה העליון פתוח. ואחר כך ההדסים - משולשים, חופפים עלה על גבי
עלה, בודקים כל קומה.
ואז, בסוף, המוכר מושיט שני ענפים ירוקים פשוטים ואומר: "ערבות על
חשבוני."
בחינם. אף אחד לא בודק אותן. אף אחד לא מתווכח על המחיר. כי לפי כל היגיון
כלכלי - אין להן ערך.
והערב אני רוצה להראות לכם שהענף הזה, שנותנים בחינם, מחזיק סוד
שחז"ל ניסחו במדרש לפני כאלף ושבע מאות שנה, ושהמדע גילה אותו מחדש רק
לפני כשמונים שנה, נתן עליו פרס נובל - ואחד ממקבלי הפרס הוא יהודי חובש כיפה
מירושלים.
כדי להגיע לשם נצטרך ללמוד שני דברים: מה התורה אומרת על ארבעת המינים, ומה
זו בכלל "תורת המשחקים". נתחיל מהקודש.
חלק א: מה התורה אומרת
הפסוק: "וּלְקַחְתֶּם
לָכֶם בַּיּוֹם הָרִאשׁוֹן פְּרִי עֵץ הָדָר כַּפֹּת תְּמָרִים וַעֲנַף עֵץ עָבֹת
וְעַרְבֵי נָחַל וּשְׂמַחְתֶּם לִפְנֵי ה' אֱלֹהֵיכֶם שִׁבְעַת יָמִים"
(ויקרא כג,מ)
שימו לב לשתי מילים בפסוק, כי נחזור אליהן בהמשך: "ולקחתם"
- התורה מדברת על לקיחה, לא על הנפה ולא על הצגה; ו"שבעת ימים" -
לא פעם אחת, אלא שוב ושוב.
ועוד דבר: בפסוק, ארבעת המינים עומדים בשורה אחת, זה ליד זה. אין ביניהם
דירוג. אין כאן "חשוב" ו"פחות חשוב".
המדרש: ההיררכיה נכנסת
ואז בא המדרש ומכניס דירוג. הנה המדרש המפורסם ביותר על ארבעת
המינים, ואנחנו הולכים להשתמש בכל מילה בו הערב:
"'פרי עץ הדר' - אלו ישראל. מה אתרוג זה יש בו טעם ויש בו ריח,
כך ישראל יש בהם בני אדם שיש בהם תורה ויש בהם מעשים טובים. 'כפות תמרים' -
אלו ישראל. מה התמרה הזו יש בו טעם ואין בו ריח, כך הם ישראל, יש בהם שיש בהם תורה
ואין בהם מעשים טובים. 'וענף עץ עבות' - אלו ישראל. מה הדס יש בו ריח ואין
בו טעם, כך ישראל, יש בהם שיש בהם מעשים טובים ואין בהם תורה. 'וערבי נחל'
- אלו ישראל. מה ערבה זו אין בה טעם ואין בה ריח, כך הם ישראל, יש בהם בני אדם
שאין בהם לא תורה ולא מעשים טובים.
ומה הקב"ה עושה להם? לאבדן אי אפשר. אלא אמר הקדוש ברוך הוא: יוקשרו
כולם אגודה אחת, והן מכפרין אלו על אלו. ואם עשיתם כך - אותה שעה אני מתעלה,
הדא הוא דכתיב (עמוס ט,ו): 'הבונה בשמים מעלותיו', ואימתי הוא מתעלה? כשהן עשויין
אגודה אחת, שנאמר: 'ואגודתו על ארץ יסדה'." (ויקרא רבה ל,יב)
המדרש חותם בפסוק מעמוס, ושם המילה "אגודה" כבר נמצאת בתוך הפסוק:
"הַבּוֹנֶה בַשָּׁמַיִם
מַעֲלוֹתָו וַאֲגֻדָּתוֹ עַל אֶרֶץ יְסָדָהּ הַקֹּרֵא לְמֵי הַיָּם וַיִּשְׁפְּכֵם
עַל פְּנֵי הָאָרֶץ ה' שְׁמוֹ" (עמוס ט,ו)
שאלה לקהל: איזו שאלה המדרש
שואל באמצע?
"ומה הקב"ה עושה להם?" - כלומר: מה עושים עם מי
שלא תורם כלום?
זו שאלה שכל מנהל, כל גבאי, כל ועד בית מכיר. ותשמעו את שתי המילים הראשונות
של התשובה: "לאבדן אי אפשר". המדרש לא אומר "לא
רוצים". הוא אומר "אי אפשר". כאילו יש כאן אילוץ, לא בחירה.
תזכרו את זה.
ועוד דבר בניסוח: "והן מכפרין אלו על אלו", לא
"אלו מכפרים על אלו" - האתרוג על הערבה, מלמעלה למטה - אלא הדדי.
גם הערבה מכפרת על מישהו. על מי? מה יש לה לתת? זו שאלה שנשאיר פתוחה עד
סוף השיעור.
ההלכה: מהמדרש אל הדין
המדרש מדבר בלשון של "עצה" - "יוקשרו כולם". ההלכה
הופכת את זה לדין מוחלט.
המשנה במנחות: "ארבעה מינין שבלולב מעכבין זה את זה." (משנה מנחות
ג,ו; בבלי מנחות כז ע"א)
"מעכבין" - מילה הלכתית חדה. חסר אחד - לא עשית כלום.
והגמרא שם מביאה ברייתא שכבר מדברת בשפה של תלות הדדית:
"ארבעה מינין שבלולב, שנים מהן עושין פירות ושנים מהן אין עושין פירות.
העושין פירות יהיו זקוקין לשאין עושין, ושאין עושין פירות יהיו זקוקין
לעושין פירות. ואין אדם יוצא ידי חובתו בהן עד שיהו כולן באגודה אחת. וכן ישראל
בהרצאה - עד שיהו כולן באגודה אחת." (מנחות כז ע"א)
"זקוקין" - נזקקים, תלויים. שימו לב: לא רק שהערבה זקוקה
לאתרוג; האתרוג זקוק לערבה.
והרמב"ם פוסק להלכה:
"ארבעה מינין האלו מצוה אחת הן, ומעכבין זה את זה, וכולן
נקראים מצות לולב. ואין פוחתין מהן ואין מוסיפין עליהן, ואם לא נמצא אחד מהן - אין
מביאין אחר תחתיו הדומה לו." (רמב"ם, הלכות שופר וסוכה ולולב ז,ה)
כלומר: אתרוג של שלוש מאות שקל, לולב מהודר, הדסים משולשים - ובלי הענף
שנותנים בחינם? אפס. לא "מצווה חלקית". אפס. הערבה, שלפי
המדרש אין בה כלום, מחזיקה בידה זכות וטו על כל המצווה.
שני פרטים הלכתיים שנצטרך אחר
כך
האחד, האם צריך לקשור? הגמרא בסוכה (יא ע"ב) מביאה
מחלוקת: רבי יהודה סובר ש"לולב צריך אגד", וחכמים סוברים שאינו צריך אגד
- ואף על פי כן, "מצוה לאוגדו משום 'זה אלי ואנוהו'". וכך פוסק הרמב"ם
(שם ז,ו): "מצוה מן המובחר לאגוד לולב והדס וערבה ולעשות שלושתן אגודה
אחת". כלומר: הקשירה היא נוי. מה שמעכב הוא לא הקשר - אלא שכולם יהיו ביד.
השני, האתרוג לא נאגד עם השלושה. הגמרא (סוכה לז ע"ב) אומרת:
לולב בימין ואתרוג בשמאל, "מאי טעמא? הני תלתא מצוות והאי חדא מצוה" -
שלושת המינים ביד ימין החזקה, והאתרוג לבדו ביד שמאל. ובכל זאת נפסק (שו"ע
או"ח תרנא,יא) שיש להצמיד את האתרוג אל הלולב בשעת הנטילה. האתרוג,
המין ה"עשיר" ביותר, מוחזק לבד - אבל חייב לגעת.
סיפור - כולם יברכו על אתרוג,
ואני אברך על סוס
מספרים על רבי מרדכי מנעשכיז, מגדולי תלמידי המגיד ממעזריטש,
שבצעירותו עסק במסחר, וכל השנה היה חוסך פרוטה לפרוטה כדי לקנות אתרוג מהודר. שנה
אחת, בדרכו לקנות את האתרוג, פגש יהודי פשוט, שואב מים, יושב ובוכה: סוסו נפל ומת,
ובלי הסוס אין לו פרנסה. רבי מרדכי הוציא את כל הכסף שחסך ונתן לו. חזר הביתה ואמר
לבני ביתו: "כולם יברכו השנה על אתרוג, ואנחנו נברך על סוס."
עוד מעט נגלה איך הסיפור הזה קשור אלינו.
חלק ב: תורת המשחקים - למי שלא
שמע עליה מעולם
עד כאן ראינו שני דברים שנראים כסותרים. המדרש מדרג: לאתרוג יש הכול, ולערבה
אין כלום. וההלכה משווה: בלי הערבה גם האתרוג לא שווה כלום. כדי להבין איך שניהם
נכונים יחד, נצטרך כלי מעולם אחר לגמרי - מהאוניברסיטה.
מה זה בכלל "משחק"?
תורת המשחקים היא לא על שחמט ולא על קלפים. היא ענף במתמטיקה ובכלכלה
שעוסק בשאלה אחת: מה קורה כשהתוצאה שלי תלויה לא רק במה שאני בוחר, אלא גם במה
שאחרים בוחרים?
אם אני מחליט מה לאכול לארוחת בוקר - זו לא בעיה של תורת המשחקים; רק אני
קובע. אבל אם אני מחליט באיזה נתיב לנסוע בכביש 443 בשבע בבוקר - התוצאה שלי תלויה
במה שאלף נהגים אחרים החליטו. אם אני קובע מחיר לדירה - התוצאה תלויה במחיר שקבע
השכן. אם אני מחליט אם לבוא לתפילה בזמן - התוצאה תלויה אם יהיה מניין. כל אלה
"משחקים": מצבים של תלות הדדית בהחלטות.
התחום נולד ב-1944, בספר של המתמטיקאי ג'ון פון נוימן והכלכלן אוסקר
מורגנשטרן. ומאז הוא זכה ביותר מעשרה פרסי נובל בכלכלה.
הדוגמה שכולם מתחילים ממנה:
דילמת האסיר
הדוגמה נולדה ב-1950 בתאגיד המחקר RAND בארצות הברית, אצל שני חוקרים, מריל
פלאד ומלווין דרשר, ואת השם "דילמת האסיר" נתן לה המתמטיקאי
אלברט טאקר, שהמציא סיפור כדי להסביר אותה לסטודנטים. הסיפור:
שני חשודים נתפסים, מוחזקים בחדרים נפרדים, לא יכולים לדבר. לכל אחד מציעים
עסקה. אם שניהם ישתקו - לשניהם יש עדות רק על עבירה קלה, שנה אחת לכל
אחד. אם אחד ידבר והשני ישתוק - המדבר יוצא לחופשי, והשותק יושב עשר
שנים. אם שניהם ידברו - חמש שנים לכל אחד.
עכשיו תיכנסו לראש של החשוד הראשון. הוא לא יודע מה חברו יעשה,
אז הוא חושב על שני המקרים:
• אם
החבר ישתוק - כדאי לי לדבר (אצא לחופשי במקום שנה).
• אם
החבר ידבר - כדאי לי לדבר (חמש שנים במקום עשר).
בכל מקרה כדאי לי לדבר, וגם החבר עושה בדיוק אותו חישוב. שניהם
מדברים. שניהם יושבים חמש שנים. ואילו היו שותקים - היו יושבים שנה.
זו התגלית המזעזעת של תורת המשחקים: כשכל אחד עושה את הטוב ביותר בשביל
עצמו, כולם יכולים להפסיד. לא בגלל טיפשות. בגלל רציונליות.
נקודת נאש
המתמטיקאי ג'ון נאש (זוכה נובל 1994; הסרט "נפלאות התבונה"
הוא עליו) הגדיר את המושג המרכזי בתחום: שיווי משקל - מצב שבו אף שחקן
לא יכול לשפר את מצבו על ידי שינוי הבחירה שלו לבדו, בהנחה שהאחרים לא משנים.
"שני החשודים מדברים" הוא שיווי משקל כזה: אם רק אחד יחזור בו וישתוק -
הוא ייפגע. אף אחד לא יכול לצאת מהבור לבד.
משל, קונצרט. כולם יושבים ורואים. מישהו בשורה הראשונה נעמד כדי
לראות טוב יותר. עכשיו מי שמאחוריו חייב לעמוד, וכך כולם. בסוף כל האולם
עומד - אף אחד לא רואה טוב יותר מבהתחלה, וכולם עייפים. וזה יציב: מי שיישב
לבדו לא יראה כלום. זו נקודת נאש. וכדי לצאת ממנה צריך משהו מבחוץ: כרוז שיגיד
"כולם לשבת".
זכרו את הכרוז הזה - בהמשך נראה שהתורה היא הכרוז.
המשחק החוזר: מה שקורה
כשנפגשים שוב
אבל יש דרך נוספת לצאת מהבור, בלי כרוז: לשחק שוב ושוב. בשנת 1980 ערך חוקר
מדעי המדינה רוברט אקסלרוד ניסוי שהפך לקלאסיקה. הוא הזמין מומחים מכל העולם
לשלוח תוכנות מחשב שישחקו דילמת אסיר - אבל לא פעם אחת, אלא מאתיים סיבובים ברצף,
זו נגד זו. ניצחה התוכנה הפשוטה ביותר בטורניר: ארבע שורות קוד, ששלח
הפסיכולוג אנטול רפופורט, ושמה "מידה כנגד מידה" (Tit for Tat).
האסטרטגיה: בסיבוב הראשון - שתף פעולה. אחר כך - עשה בדיוק מה שהצד השני
עשה בסיבוב הקודם.
אקסלרוד ניתח למה דווקא היא ניצחה, וזיהה ארבע תכונות: היא נחמדה -
לא בוגדת ראשונה; היא מגיבה - לא נותנת לנצל אותה; היא סלחנית -
ברגע שהצד השני חוזר לשתף פעולה, גם היא חוזרת מיד, בלי לנטור; והיא ברורה
- קל להבין אותה, ולכן קל לבטוח בה.
והמסקנה הגדולה שלו: שיתוף פעולה צומח כשיש "צל של העתיד"
- כשהשחקנים יודעים שייפגשו שוב. במפגש חד-פעמי משתלם לבגוד. במפגש חוזר,
מי שבוגד היום משלם מחר.
בספרו "האבולוציה של שיתוף הפעולה" אקסלרוד מקדיש פרק שלם לתופעה
מוזרה במלחמת העולם הראשונה. בחפירות בחזית המערבית, חיילים גרמנים
ובריטים שישבו אלה מול אלה חודשים ארוכים פיתחו, בלי שום הסכם רשמי, שיטה של
"חיה ותן לחיות": יורים בשעות קבועות, למקומות ידועים, ולא
פוגעים. ההפגזות היו הופכות לטקס. הקצינים בעורף זעמו, אבל בשטח זה עבד -
כי החיילים ידעו שהם ישבו מול אותם אנשים גם מחר. הצל של העתיד עשה את מה שאף
גנרל לא הצליח לכפות.
אומן: היהודי מירושלים והמשחק
שלא נגמר
וכאן נכנס האיש שבזכותו כל השיעור הזה אפשרי.
ישראל אומן נולד בפרנקפורט ב-1930, ברח עם משפחתו מגרמניה הנאצית לארצות
הברית ב-1938, ועלה לישראל ב-1956, לאוניברסיטה העברית. יהודי שומר תורה ומצוות,
מתפלל, לומד גמרא. ובשנת 2005 קיבל את פרס נובל לכלכלה, יחד עם תומאס
שלינג, "על שהעמיקו את הבנתנו בסכסוך ובשיתוף פעולה באמצעות ניתוח של תורת
המשחקים". את הרצאת הנובל שלו בשטוקהולם הוא קרא "מלחמה ושלום".
התרומה המרכזית שלו היא בדיוק מה שאקסלרוד ראה בניסוי, אבל כמשפט מתמטי מוכח
- מה שמכונה "משפט העם" (Folk Theorem): במשחק שחוזר על עצמו לאורך
זמן, כמעט כל שיתוף פעולה שבמשחק חד-פעמי היה בלתי אפשרי הופך לשיווי משקל יציב.
אנשים שנפגשים שוב ושוב יכולים להגיע להסכמות שאף בית משפט לא כופה - כי העתיד
כופה.
ואומן לא עצר בזה. ב-1985 פרסם, יחד עם פרופ' מיכאל משלר, מאמר בכתב עת
מוביל לתאוריה כלכלית, שיצא ממשנה במסכת כתובות. בואו נלמד אותה כמו שצריך,
כי היא הגשר הראשון שלנו בין הבית מדרש לאוניברסיטה.
המשנה: שלוש אלמנות ועיזבון
אחד
המקרה כזה: אדם נפטר ומשאיר שלוש נשים. לכל אחת מהן כתובה - חוב שהעיזבון
חייב לה. לראשונה מנה, כלומר 100 זוז; לשנייה מאתיים; לשלישית שלוש מאות. סך כל
החובות - 600. אבל בעיזבון אין 600. אין מספיק לכולן. איך מחלקים? המשנה עונה
בשלושה מקרים:
"מי שהיה נשוי שלוש נשים ומת, כתובתה של זו מנה ושל זו מאתים ושל זו
שלש מאות, ואין שם אלא מנה, חולקות בשווה. היו שם מאתים, של מנה נוטלת חמישים; של
מאתים ושל שלש מאות, שלושה שלושה של זהב. היו שם שלוש מאות, של מנה נוטלת חמישים;
ושל מאתים, מנה; ושל שלוש מאות, שישה של זהב." (משנה כתובות י,ד; בבלי כתובות
צג ע"א)
דינר זהב שווה עשרים וחמישה זוז, ולכן "שלושה של זהב" הם 75 זוז,
ו"שישה של זהב" הם 150. בואו נתרגם את המשנה למספרים:
• בעיזבון
100: כל אחת מקבלת 33 ושליש - חלוקה שווה.
• בעיזבון
200: הראשונה 50, השנייה 75, השלישית 75.
• בעיזבון
300: הראשונה 50, השנייה 100, השלישית 150 - חלוקה יחסית לחוב.
החידה
תסתכלו על המספרים ותראו מה מטריד כאן. במקרה הראשון - חלוקה שווה. במקרה
השלישי - חלוקה יחסית: מי שחייבים לה פי שלושה, מקבלת פי שלושה. ובמקרה האמצעי? לא
זה ולא זה. אם זו חלוקה שווה, למה הראשונה מקבלת 50 ולא 66 ושני שלישים? ואם זו
חלוקה יחסית, למה השנייה והשלישית מקבלות אותו סכום, כשהחוב לשלישית גדול בחצי?
החידה הזאת לא חדשה. כבר בגמרא (כתובות צג ע"א) מובאת ברייתא שהמשנה
היא שיטת רבי נתן, ורבי חולק עליו וסובר שהנשים חולקות בשווה. האמוראים התקשו
למצוא היגיון אחד שמסביר את שלושת המקרים, ולכן העמידו את המשנה במקרים מיוחדים -
שמואל, למשל, מעמיד אותה במקרה שבעלת המאתיים כתבה לבעלת המנה "דין ודברים
אין לי עמך במנה". הרמב"ם והשולחן ערוך פסקו כרבי. ובמשך דורות מפרשים
התקשו: האם יש בכלל כלל אחד שמוליד את שלושת המספרים של המשנה, בדיוק כמו שהם?
המפתח: שניים אוחזין בטלית
אומן ומשלר מצאו את המפתח במשנה אחרת - המשנה הראשונה במסכת בבא מציעא:
"שנים אוחזין בטלית, זה אומר אני מצאתיה וזה אומר אני מצאתיה...
זה אומר כולה שלי וזה אומר חציה שלי... זה נוטל שלשה חלקים, וזה נוטל רביע."
(משנה בבא מציעא א,א)
מה ההיגיון? מי שאומר "חציה שלי" מודה בעצם שהחצי השני אינו שלו.
על החצי הזה אין ויכוח - הוא הולך למי שתובע את כולה. הוויכוח הוא רק על החצי
ששניהם תובעים, ואותו מחלקים שווה: רבע לכל אחד. בסך הכול - שלושה רבעים לזה, ורבע
לזה. זה הכלל: החלק שרק אחד תובע הולך לו, והחלק ששניהם תובעים מתחלק שווה.
הפתרון של אומן ומשלר
עכשיו חוזרים לשלוש האלמנות. אומן ומשלר אמרו: ניקח כל זוג נשים בנפרד,
נסתכל על הסכום ששתיהן קיבלו יחד, ונשאל - האם הן היו מחלקות אותו ביניהן בדיוק
כך, לפי כלל הטלית?
ניקח את המקרה הקשה, עיזבון של 200:
• הראשונה
והשנייה קיבלו יחד 125. הראשונה תובעת 100 בלבד, ולכן היא מודה ש-25 מתוך ה-125
אינם שלה, והם הולכים לשנייה. על 100 הנותרים שתיהן תובעות, והן חולקות אותם: 50
ו-50. התוצאה: הראשונה 50, השנייה 75. בדיוק המשנה.
• השנייה
והשלישית קיבלו יחד 150. כל אחת מהן תובעת לפחות 150, ולכן אין כאן חלק שרק אחת
תובעת. הכול במחלוקת, והן חולקות: 75 ו-75. שוב - בדיוק המשנה.
• הראשונה
והשלישית קיבלו יחד 125. הראשונה מודה ש-25 אינם שלה, והם הולכים לשלישית; את 100
הנותרים הן חולקות, 50 ו-50. הראשונה 50, השלישית 75. בדיוק המשנה.
אותו דבר עובד גם בעיזבון של 100 וגם בעיזבון של 300, בכל אחד מהזוגות. כשמפעילים
את הכלל הזה על כל זוג נשים בנפרד, ודורשים שהחלוקה תהיה עקבית לכל הזוגות - מתקבלים
בדיוק המספרים של המשנה. ואומן ומשלר הוכיחו יותר מזה: לכל גודל של עיזבון יש
חלוקה אחת ויחידה שבה כל זוג, כשהוא מסתכל על מה שקיבל יחד, מחלק אותו בדיוק לפי
כלל הטלית. אף אישה לא יכולה לפנות לאחת האחרות ולומר לה "בינינו, מגיע לי
יותר". החלוקה יציבה מכל כיוון.
ויש לזה ניסוח פשוט שאפשר לומר בעל פה: כל עוד בעיזבון יש עד מחצית מסך
החובות, כל אישה מקבלת חלק שווה, אבל אף אחת לא מקבלת יותר ממחצית הכתובה שלה.
בעיזבון של 100 - 33 ושליש לכל אחת, פחות ממחצית הכתובה של כולן. בעיזבון של 200 -
חלק שווה היה 66 ושני שלישים, אבל מחצית הכתובה של הראשונה היא 50, ולכן היא עוצרת
ב-50, והשתיים האחרות חולקות את היתר: 75 ו-75. בעיזבון של 300 - כל אחת מגיעה
בדיוק למחצית הכתובה שלה: 50, 100, 150. שלושה מקרים שנראו כמו שלוש שיטות שונות -
ובעצם כלל אחד.
ולא זו בלבד: החלוקה הזאת זהה לפתרון שתורת המשחקים המודרנית
פיתחה בשנות השישים למשחקים שיתופיים - ה"גרעינון" (Nucleolus).
ואומן עצמו מצא אחר כך שכבר רב האי גאון כיוון לפירוש הזה. התנאים הגיעו לשם
כאלף ושמונה מאות שנה קודם.
אני מספר את זה כי הגשר שאני בונה הערב - בין הבית מדרש לתורת הכלכלה - הוא
לא המצאה שלי. הוא כבר נבנה, על ידי אדם שחי בשני העולמות.
חלק ג: כמה שווה שחקן?
עד עכשיו דיברנו בעיקר על משחקים שבהם כל אחד לעצמו - החשודים, הנהגים,
החיילים בחפירות. אבל המשנה בכתובות כבר פתחה לנו שאלה מסוג אחר: לא "מה כל
אחד יעשה", אלא "איך מחלקים משהו משותף". זה הענף השני בתורת
המשחקים - משחקים שיתופיים - שבו מניחים שאפשר לכרות בריתות מחייבות,
והשאלה היא: כשקבוצה מרוויחה יחד, איך מחלקים את הרווח בהוגנות? וכמה שווה כל
חבר בקבוצה?
לפני הנוסחה - סיפור.
סיפור: שמונה ככרות ושמונה
מטבעות
מספרים על שני סוחרים שהלכו במדבר. לאחד היו חמש ככרות לחם, ולשני שלוש.
בדרך פגשו עשיר גדול שנותר בלי מזון, והוא ביקש להצטרף אליהם והבטיח לפצות אותם
ביד רחבה. השלושה ישבו ואכלו יחד את כל שמונה הככרות, בשווה. בסוף הדרך הוציא
העשיר שמונה מטבעות זהב ואמר: "התחלקו בהם לפי מה שהבאתם."
בעל שלוש הככרות אמר: "פשוט מאוד - לי שלושה מטבעות ולך חמישה, בדיוק
לפי הלחם." בעל חמש הככרות לא הסכים, והם הלכו לדין לפני הבן איש חי.
והחכם פסק פסק מפתיע: בעל חמש הככרות מקבל שבעה מטבעות, ובעל שלוש הככרות - מטבע
אחד בלבד.
בעל שלוש הככרות נעלב, והחכם הסביר לו את החשבון. כל ככר נחלקה לשלושה, כדי
ששלושתכם תאכלו בשווה - כלומר עשרים וארבעה שלישים, וכל אחד מכם אכל שמונה. אתה
הבאת תשעה שלישים ואכלת שמונה - נתת לאורח שליש אחד. חברך הביא חמישה עשר שלישים
ואכל שמונה - נתן לאורח שבעה. הכסף משלם על מה שנתתם לו, לא על מה שהבאתם.
שימו לב מה החכם עשה: הוא לא שאל כמה לחם יש לכל אחד. הוא שאל כמה כל אחד
תרם לאחר. זו בדיוק השאלה שתורת המשחקים המודרנית ניסחה במתמטיקה.
ערך שפלי: משל השותפים שנכנסים
לחדר
ב-1953 הציע המתמטיקאי לויד שפלי (זוכה נובל 2012) תשובה לשאלה הזאת, שנקראת
עד היום על שמו. כדי להבין אותה, צריך מושג אחד.
תרומה שולית: מה אתה מוסיף
התרומה השולית של אדם היא ההפרש בין מה שהקבוצה מסוגלת לעשות איתו, לבין מה
שהיא מסוגלת לעשות בלעדיו. לא מה שיש לו - מה שהוא מוסיף.
דוגמה שכל אחד כאן מכיר: מניין. תשעה אנשים עומדים בבית הכנסת ומחכים. נכנס
העשירי - ופתאום יש קדיש, יש קדושה, יש קריאת התורה. התרומה השולית שלו עצומה.
אחריו נכנס האחד-עשר - והוא כמעט לא משנה דבר לתפילה. ושימו לב: העשירי והאחד-עשר
יכולים להיות אותו אדם בדיוק. אילו הגיע חמש דקות קודם, הוא היה העשירי. התרומה
השולית תלויה לא רק במי שאתה, אלא גם במתי נכנסת.
וזו בדיוק הבעיה ששפלי רצה לפתור: אם התרומה של כל אחד תלויה בסדר ההגעה,
איך קובעים כמה הוא שווה באמת?
הרעיון: הממוצע על כל סדרי
הכניסה
דמיינו שהשותפים נכנסים לחדר אחד אחרי השני, ובכל פעם שנכנס מישהו שואלים: כמה
הוא הוסיף לקבוצה שכבר בפנים? זו "התרומה השולית" שלו. אבל
סדר הכניסה משנה - מי שנכנס ראשון לחדר ריק אולי מוסיף מעט, ומי שנכנס אחרון
ומשלים את התמונה מוסיף הרבה. אז שפלי אמר: תבדקו את כל סדרי הכניסה
האפשריים, ותנו לכל שחקן את הממוצע של תרומותיו. זה ערך שפלי: כמה אתה
שווה, בממוצע על כל הדרכים שבהן הקבוצה יכלה להיווצר.
אבל שפלי לא הסתפק בנוסחה. הוא שאל שאלה עמוקה יותר: מה בכלל נדרש מחלוקה
כדי שנקרא לה הוגנת? והוא ניסח ארבע דרישות פשוטות:
1. כל
הרווח מתחלק - שום דבר לא נשאר על השולחן, ושום דבר לא מומצא.
2. שני
שותפים שתורמים בדיוק אותו דבר בכל מצב - מקבלים אותו דבר.
3. מי
שאינו מוסיף כלום לאף קבוצה, בשום מצב - אינו מקבל כלום.
4. מי
ששותף בשני מיזמים נפרדים, חלקו בשניהם יחד הוא סכום חלקיו בכל אחד מהם.
ואז הוכיח: יש רק דרך אחת לחלק שעומדת בכל ארבע הדרישות יחד - הממוצע על כל
סדרי הכניסה. זו לא עוד הצעה בין הצעות. זו החלוקה ההוגנת היחידה. ותזכרו את
הדרישה השלישית - היא תחזור אלינו עוד רגע.
דוגמה: המאפייה
דוגמה. שלושה שותפים במאפייה. ראובן לבדו מייצר לחם בשווי 100. שמעון
לבדו - 0 (יש לו רק מתכונים). לוי לבדו - 0. ראובן ושמעון יחד - 150 (המתכונים
משפרים). ראובן ולוי - 100 (לוי לא מוסיף). שמעון ולוי - 0. שלושתם - 150.
יש שישה סדרי כניסה. בואו נעבור עליהם אחד אחד, ונרשום כמה כל אחד מוסיף
ברגע שהוא נכנס:
1. ראובן,
שמעון, לוי: ראובן מוסיף 100, שמעון 50, לוי 0.
2. ראובן,
לוי, שמעון: ראובן 100, לוי 0, שמעון 50.
3. שמעון,
ראובן, לוי: שמעון 0, ראובן 150, לוי 0.
4. שמעון,
לוי, ראובן: שמעון 0, לוי 0, ראובן 150.
5. לוי,
ראובן, שמעון: לוי 0, ראובן 100, שמעון 50.
6. לוי,
שמעון, ראובן: לוי 0, שמעון 0, ראובן 150.
עכשיו מחשבים ממוצע. ראובן: 100, 100, 150, 150, 100, 150 - יחד 750, חלקי
שישה - 125. שמעון: 50, 50, 0, 0, 50, 0 - יחד 150, חלקי שישה - 25. ולוי - אפס,
בכל השורות. ובסך הכול 125 ועוד 25 ועוד אפס - 150, בדיוק כל הרווח. בכל סדר
כניסה, כשלוי נכנס, הקבוצה לא מרוויחה כלום.
ותראו מה יצא. לשמעון וללוי יש בדיוק אותו ערך כשהם לבד: אפס. ובכל זאת
שמעון שווה 25, ולוי שווה אפס. למה? כי שמעון, כשהוא מגיע אחרי ראובן, משנה משהו -
המתכונים שלו מעלים את הלחם מ-100 ל-150. ולוי לא משנה כלום לאף אחד, בשום סדר. ערך
שפלי לא מודד מה יש לך. הוא מודד מה קורה לאחרים בזכותך - בדיוק כמו החכם בסיפור
הלחמים.
שחקן דמה
לוי הוא מה שתורת המשחקים קוראת לו, בשפה קרה, "שחקן דמה"
(Dummy Player): מי שתרומתו השולית תמיד אפס. ערכו ההוגן - אפס. הוא לא
מקבל כלום, ואף אחד לא יטען שזה לא הוגן. ושימו לב: לוי לא מקבל אפס כי מישהו
החליט להעניש אותו. זו הדרישה השלישית של שפלי - אחת מארבע הדרישות שמגדירות מהי
הוגנות. לפי המתמטיקה של ההוגנות, שחקן דמה לא מקבל כלום. זה בדיוק "לאבדן"
של המדרש: לפי הכלכלה, לוי לא בקבוצה.
שחקן וטו ומשחק פה-אחד
ועכשיו ההפך הגמור. יש שחקן שנקרא "שחקן וטו": מי שבלעדיו שום
קבוצה לא שווה כלום. ויש משחק שבו כולם שחקני וטו - הוא נקרא משחק פה-אחד
(Unanimity Game): הקואליציה היחידה שמייצרת ערך היא הקואליציה המלאה. כל חסר -
אפס.
משל: כספת בבנק עם ארבעה מפתחות אצל ארבעה שותפים,
ונפתחת רק בארבעתם יחד. אחד המפתחות מוזהב, אחד מפלדה, אחד מנחושת, ואחד
חלוד וישן. מי שווה יותר?
בואו נפעיל את משל החדר. לארבעה שותפים יש עשרים וארבעה סדרי כניסה. בכל אחד
מהם, שלושת הראשונים שנכנסים מוסיפים אפס - הכספת עדיין סגורה. רק הרביעי, מי
שלא יהיה, מוסיף את הכול. וכל שחקן הוא הרביעי בשישה סדרים מתוך עשרים
וארבעה - כלומר ברבע מסדרי הכניסה. לכן ערך שפלי של כל אחד - בדיוק רבע.
המפתח המוזהב - רבע. המפתח החלוד - רבע. לא בגלל נדיבות. בגלל נוסחה. במשחק
פה-אחד, אין דרך מתמטית להבחין בין שחקן לשחקן, כי כולם זקוקים לכולם באותה מידה.
וזו הנקודה שאני מבקש שתיקחו הביתה מהחלק הזה: ערכו של שחקן לא נקבע רק
ממה שיש לו, אלא ממבנה המשחק. אותו לוי, שבמאפייה שווה אפס, במשחק הכספת
שווה רבע. השינוי הוא לא בו - הוא בחוקים.
חלק ד: החיבור
עכשיו יש לנו את שני הצדדים ביד. בואו נניח אותם זה על זה.
המדרש מתאר משחק מאפייה
המדרש מדד את ארבעת המינים לפי מה שיש להם: טעם וריח. לאתרוג שניהם, ללולב
טעם, להדס ריח, ולערבה לא כלום. אם היינו מחשבים "ערך שפלי" לפי
הטעם והריח - כל מין תורם את מה שיש לו, ותו לא - האתרוג היה שווה חצי, הלולב
וההדס רבע כל אחד, והערבה אפס. שחקן דמה, בדיוק כמו לוי במאפייה. ובדיוק
כמו בשוק: "ערבות על חשבוני". והמדרש, בכנות מלאה, מציג את הבעיה כפי
שהיא: "ומה הקב"ה עושה להם?"
ההלכה משנה את חוקי המשחק
ואז באה ההלכה: "מעכבין זה את זה". "ואם לא נמצא אחד
מהן - אין מביאין אחר תחתיו". זה, מילה במילה, ההגדרה של משחק פה-אחד.
הקואליציה היחידה שמקיימת את המצווה היא הקואליציה המלאה. הערבה הפכה
משחקן דמה לשחקן וטו - ובמשחק כזה, ערכה בדיוק רבע. שווה לאתרוג. בדיוק
כמו המפתח החלוד בכספת.
ותשימו לב: הקב"ה לא אמר לאתרוג "תרחם על הערבה". הוא לא
ביקש נדיבות. הוא שינה את מבנה המשחק כך שבלי הערבה גם האתרוג לא שווה
כלום. בכלכלה המודרנית קוראים לזה "תכנון מנגנונים" (Mechanism
Design; פרס נובל 2007 להורוביץ, מסקין ומאירסון): במקום להטיף לשחקנים, מעצבים את
הכללים כך שהתוצאה הרצויה תהיה שיווי המשקל שלהם. זה הכרוז שאומר לאולם
"כולם לשבת" - לא בהטפה, אלא בחוק.
ובלשון הגמרא זה מנוסח בשתי מילים. זוכרים את המילה "ולקחתם"
מהפסוק? הגמרא במנחות (כז ע"א) שואלת מנין שמעכבין, ועונה: "ולקחתם -
לקיחה תמה". לקיחה שלמה. הערך מופיע רק כשהלקיחה תמה - בדיוק כמו
בכספת, שנפתחת רק כשהמפתח הרביעי נכנס. "לקיחה תמה" היא ההגדרה
ההלכתית של משחק פה-אחד.
וזוכרים את "לאבדן אי אפשר"? עכשיו זה מובן. זה לא אילוץ
רגשי. במשחק פה-אחד, לאבד שחקן אחד פירושו לאבד את כל הערך. אי אפשר -
מתמטית.
"אלו על אלו": מה כל
צד מרוויח
הברייתא אמרה "זקוקין" - הדדי. והמדרש אמר "מכפרין
אלו על אלו". מה האתרוג מרוויח? על זה עמד האדמו"ר
מליובאוויטש בשיחה בשמחת תורה תשט"ו: כשהאתרוג - מי שיש בו תורה ומעשים
טובים - מתאגד עם הערבה, יש תועלת לשניהם. האתרוג, כשהוא משפיל את עצמו
לעסוק עם אנשים פשוטים, ניצל מגאווה; והערבה, כשהיא אגודה עם
האתרוג, ניצלת מייאוש. והוא הוסיף: אחרי החג, כשהמינים מתפרקים וכל אחד
פונה לדרכו, הסכנה חוזרת - הערבה עלולה ליפול לייאוש, והאתרוג לגאווה.
זה, בשפה של תורת המשחקים, "עודף שיתוף הפעולה": שני
הצדדים במצב טוב יותר יחד מאשר לחוד. לא רק החלש מרוויח מהחזק. גם החזק מרוויח
מהחלש - משהו שאין לו לבד.
בלי חוזה: "אין צריך
אגד"
וכאן פרט הלכתי שנראה טכני ומסתבר שהוא עומק: "לולב אין צריך
אגד". הקשירה היא רק נוי. בתורת המשחקים ההבדל בין משחק שיתופי ללא-שיתופי
הוא האם יש חוזה מחייב. וההלכה אומרת: החוזה - האגד - הוא קישוט. מה שמעכב הוא לא
הקשר הפורמלי, אלא שכולם יהיו ביד אחת בו-זמנית.
ומה מחזיק שיתוף פעולה בלי חוזה? אומן ואקסלרוד ענו: החזרה. הצל
של העתיד. ובעצם, זה המבנה של החיים היהודיים כולם: מניין שמתפללים בו יחד
לאורך שנים, קהילה, שכן טוב - ואפילו גלגולי נשמות, שבהם המשחק לא נגמר גם כשהחיים
נגמרים. ולכן - המילים השניות שביקשתי שתזכרו מהפסוק: "שבעת ימים".
כל בוקר מחדש, שנה אחר שנה, שבעים שנה בחיים. משחק חוזר. אם היית לוקח את הערבה
פעם אחת, היית מזלזל בה. שבעה ימים, כל שנה - לומדים.
משל התנאים: שתי ספינות
ולסיום החלק הזה - משל שחז"ל אמרו, שהוא בעצם משל של תורת משחקים:
"רבי שמעון בן יוחאי אומר: משל לאחד שהביא שתי ספינות
וקשרן בהוגנים ובעשתות, והעמידן בלב הים, ובנה עליהן פלטרין. כל זמן
שהספינות קשורות זו בזו - פלטרין קיימים. פירשו ספינות - אין פלטרין קיימים."
(ספרי דברים, על הפסוק "יחד שבטי ישראל")
הארמון - הערך המשותף - קיים רק על שתי הספינות יחד.
אף ספינה לא יכולה לטעון "הארמון בעיקר עליי". ברגע שנפרדות - אין
ארמון. וזה בדיוק הפסוק שבו חתם המדרש: "ואגודתו על ארץ יסדה".
חלק ה: קבלה וחסידות - מה
הערבה כן נותנת?
נשארה השאלה שהשארנו פתוחה בתחילת השיעור: על מי הערבה מכפרת? עכשיו אנחנו
יודעים שבמשחק פה-אחד היא שווה רבע - אבל רבע ממה? אם היא שווה כמו האתרוג, היא
חייבת לתרום משהו. מה?
הקבלה: הרגליים
בפתח אליהו (הקדמת תיקוני הזוהר) מתוארות הספירות כגוף: "חסד דרועא
ימינא, גבורה דרועא שמאלא, תפארת גופא, נצח והוד תרין שוקין" - נצח
והוד הן שתי הרגליים. ובכתבי האר"י (פרי עץ חיים, שער הלולב) ארבעת המינים הם
קומה שלמה: שלושת ההדסים - חסד, גבורה, תפארת; שתי הערבות - נצח והוד;
הלולב - יסוד; והאתרוג - מלכות.
וכך שרים בפיוט "סוכה ולולב" של רבי משה אדהאן ממרוקו:
"הַהֲדַס רוֹמֵז לִשְׁלוֹשָה אָבוֹת, מֹשֶה אַהֲרֹן בַּדֵּי עֲרָבוֹת, יוֹסֵף
לַלּוּלָב חֶמְדַּת לְבָבוֹת, דָּוִד לָאֶתְרוֹג כַּלָּה כְּלוּלָה." שימו לב
מי יושב בערבות: משה רבנו ואהרן הכהן.
הערבות הן הרגליים. אין להן חכמה של ראש ("טעם") ולא
רגש של לב ("ריח"). אבל הן ההולכות. בלי רגליים, כל החכמה שבראש
נשארת במקום. הערבה היא הרגליים של עם ישראל - מי שמבצע, שמגיע, שנמצא.
והרב קוק כותב על זה דברים חריפים (אורות הקודש ב, עמ' שסד-שסה):
"הצד הבריא של היושר מצוי הוא באנשים גסים יותר ויותר ממה שהוא מצוי במלומדים
ומוסריים בעלי מחשבה... עצם הרגשתו זאת היא מצויה באנשים בריאים טבעיים, שהם הם
ההמון, עם הארץ." ולא רק במוסר: "גם בהרגשת האמונה, הגדלות האלוהית,
היופי... הוא יותר בריא וטהור בההמון." ומיד הוא מוסיף שההמון צריך את גדולי
התושיה, "אבל כשם שמשפיעים עליו עצה ותושיה, כך הוא משפיע עליהם חיים
בריאים."
זה "מכפרין אלו על אלו" בלשונו של הרב קוק: הראש נותן
לרגליים כיוון, והרגליים נותנות לראש חיים.
המדרש: השפתיים
והמדרש נותן מיפוי אחר, לא פחות יפה:
"'כל עצמותי תאמרנה ה' מי כמוך' - לא נאמר פסוק זה אלא בלולב. השדרה של
לולב דומה לשדרה של אדם, וההדס דומה לעין, וערבה דומה לפה, והאתרוג דומה
ללב." (ויקרא רבה ל,יד)
הערבה היא הפה. מי שאין בו תורה ואין בו מעשים - נשאר לו דבר אחד: לבקש. להתפלל.
ואכן, יום הערבה הוא יום ההושענות.
השפת אמת: עירוב וקול ערב
השפת אמת (סוכות תרל"ד) מפרש את השם "ערבה" מלשון
עירוב - התערבבות בכלל:
"וגם מינים שבלולב הם כללות בני ישראל, כמו שאמרו ז"ל: ערבה - מי
שאין בו טעם וריח. העצה על זה - העירוב, שמאסף עצמו בכלל ישראל. וזהו חשוב
יותר לגרום ברכה, דכתיב 'ערבי נחל', ונחל הוא על שם המשכת השפע."
ומה שהערבה יכולה להוציא מעצמה, אומר שם השפת אמת, הוא "קול ערב"
- קול תפילה נעים לפני ה', כדוד המלך "נעים זמירות ישראל", וכמו
שהערבה דומה לשפתיים. ובמקום אחר הוא מוסיף: חז"ל בחרו במצוות ערבה של הושענא
רבה יותר מכל המינים, "אף כי הוא נגד אותם שאין בהם טעם וריח - כי באמת
מזה ניכר יותר דבקות בני ישראל להשם יתברך".
ואם נרשה לעצמנו להמשיך את דרשת השפת אמת עוד צעד - "ערבה" קרובה
גם ל"ערבות": "כל ישראל ערבים זה בזה" (שבועות לט
ע"א, על הפסוק "וכשלו איש באחיו"). ותחשבו על זה דרך העיניים של
אומן: ערבות הדדית היא בדיוק המנגנון שהופך אוסף אינטרסים לקואליציה יציבה
- כל אחד ערב לשני, ולכן אף אחד לא נופל. הערבה לא תורמת טעם ולא ריח. היא
תורמת את הביחד.
חב"ד: קבלת עול, ויום
הערבה
בתורת החסידות של חב"ד, הערבה ש"אין בה לא טעם ולא
ריח" היא עבודה שאין בה לא הבנה ולא הרגש - אלא קבלת עול בלבד. ודווקא
משום כך: בעבודה שעל פי טעם ודעת יש מדרגות - יש מי שמבין יותר ומי שפחות; בקבלת
עול אין מדרגות. כולם שווים. ולכן, אומרים שם, הערבה נקראת בלשון הגמרא "אחוונא"
(ראה שבת כ ע"א) - על שם שגדלה באחווה.
וכאן חוזרת המתמטיקה מהכיוון השני: קבלת עול היא משחק פה-אחד. אין בו
"מי תורם יותר". ולכן - כמו הכספת - כולם רבע.
ומהו יום השיא של החג? הושענא רבה, שהמשנה (סוכה ד,ה-ו) קוראת לו
"יום שביעי של ערבה", וחביטת הערבה בו היא "מנהג נביאים"
(סוכה מד ע"ב). ביום שבו, על פי הזוהר, נחתם הדין - האתרוג נשאר בבית.
הלולב וההדס מונחים בצד. ומה לוקחים ביד? ערבה לבדה. בכל ימי החג הערבה
ניטלת רק בתוך האגודה; בהושענא רבה היא עומדת בפני עצמה. ביום ההכרעה, מה
שמכריע הוא לא הטעם ולא הריח - אלא הנכונות הפשוטה להיות שם.
סיפור: המשרוקית
מספרים על הבעל שם טוב, שביום הכיפורים אחד ראה שהתפילות אינן עולות. שערי
שמים נעולים, וקטרוג גדול. עמד וניסה בכל כוחו - ולא הצליח. ובבית המדרש ישב נער
רועה, שלא ידע קרוא, ולא ידע להתפלל, ורק הקשיב לקולות מסביבו, ולבו נשבר בקרבו.
ולפני נעילה הוציא מכיסו את המשרוקית שבה היה קורא לצאן, ושרק בכל כוחו. הקהל
נבהל. והבעל שם טוב פתח את עיניו ואמר: השריקה הזאת פרצה את כל השערים.
נער בלי טעם ובלי ריח. לא תורה, לא מעשים. רק פה - ורצון להיות
בפנים.
ואם תרצו - זו בדיוק התוצאה של הטורניר של אקסלרוד. במחשב, בלי לדעת, הוא
גילה שהאסטרטגיה המנצחת לא הייתה החכמה ביותר. הנחמדה ביותר, הסלחנית ביותר,
והפשוטה ביותר. ארבע שורות. ערבה.
סיום: חזרה לשוק
זוכרים את רבי מרדכי מנעשכיז? "כולם יברכו על אתרוג, ואני אברך על
סוס." הוא ויתר על האתרוג המהודר - המין עם הטעם והריח - בשביל
יהודי פשוט, שואב מים, בלי טעם ובלי ריח. הוא ידע מה שאומן הוכיח: הערך האמיתי
הוא לא במה שיש לי ביד, אלא במי שאני קשור אליו.
בראש השנה כל אחד מאיתנו שאל את עצמו בשקט: אני אתרוג? לולב? הדס? אולי
ערבה? וחג הסוכות עונה: זו לא השאלה. השאלה היא לא מה יש לך. השאלה היא עם מי
אתה אגוד. כי במשחק שהקב"ה עיצב לנו - משחק פה-אחד, לקיחה תמה - אף אחד לא
שווה יותר מאחיו, ואף אחד לא יכול לנצח לבד.
אז בשנה הבאה, כשתעמדו בשוק, והמוכר יושיט לכם את הערבות ויגיד
"ערבות על חשבוני" - תיקחו אותן ביד, ותדעו אתם מחזיקים עכשיו את
הדבר היחיד שבלעדיו כל השאר לא שווה כלום.
חג שמח, ופתקא טבא.
